Recurso ISS Petrolina (Raciocínio Lógico)

Caros alunos,

Na prova do ISS Petrolina a banca IAUPE estranhamente alterou o gabarito da questão abaixo. O gabarito preliminar era a alternativa D (28), já no gabarito definitivo houve a mudança para a alternativa C (27). Gostaria de expor aqui as razões pelas quais discordo do posicionamento da banca. Fiquem à vontade para utilizar esta minha fundamentação como base para eventuais medidas que julgarem cabíveis.

IAUPE – ISS Petrolina – 2019) Em uma escola, há uma e somente uma turma de cada uma das séries do ensino fundamental (1º ao 9º ano). Em cada turma, temos 40 ou mais alunos. Todos os alunos dessas turmas – e apenas dessas turmas – estão no pátio. Qual o número mínimo de alunos que, escolhidos aleatoriamente, garante a escolha de, pelo menos, 4 alunos de uma mesma turma?

A) 22 alunos sorteados

B) 25 alunos sorteados

C) 27 alunos sorteados

D) 28 alunos sorteados

E) 37 alunos sorteados

RESOLUÇÃO:

Veja que temos 9 turmas ao todo (do 1º ao 9º ano). Todos os alunos dessas turmas estão no pátio. O nosso objetivo é escolher pelo menos 4 alunos da mesma turma. Ora, podemos “dar o azar” de escolher 27 alunos e, na verdade, termos 3 alunos de cada uma das 9 turmas, concorda? Isto é, com apenas 27 alunos escolhidos nós não podemos garantir que pelo menos 4 são da mesma turma, justamente porque podemos ter exatamente 3 alunos de cada uma das 9 turmas.

Caso selecionemos mais 1 aluno, chegando a 28 alunos, certamente teremos pelo menos 4 da mesma turma. Isto porque, mesmo no cenário de “maior azar”, onde os primeiros 27 alunos são, na verdade, 3 de cada turma, o 28º aluno escolhido fará com que tenhamos 4 integrantes de uma mesma turma.

Portanto, o gabarito correto deveria ser a alternativa D (28), como constava no gabarito preliminar.

Estamos diante de um problema baseado no princípio da casa dos pombos, também conhecido como princípio das gavetas de Dirichlet. Segundo este princípio, se tivermos “n + 1” elementos a serem distribuídos em “n” grupos, então pelo menos um grupo terá mais de um elemento. De fato, se tivermos 10 pessoas para distribuir em 9 turmas, certamente podemos garantir que alguma turma tem mais de 1 aluno. Ou seja, com 10 pessoas seria possível garantir que temos pelo menos 2 pessoas de uma mesma turma.

De maneira análoga, com “2n+1” elementos a serem distribuídos em “n” grupos, podemos garantir que pelo menos 3 elementos são do mesmo grupo.

Se tivermos “3n+1” elementos a serem distribuídos em “n” grupos, também podemos garantir que pelo menos 4 elementos são do mesmo grupo. Isto é, sendo n = 9 turmas, com 3.9 + 1 = 28 crianças selecionadas, podemos garantir que pelo menos 4 crianças são da mesma turma.

Gabarito do professor Arthur Lima: D (28)

Pelo exposto, entendo que a banca deveria rever o seu posicionamento, retornando ao gabarito divulgado preliminarmente.

Para os que não me conhecem, sou engenheiro aeronáutico pelo ITA, professor em cursos preparatórios para concursos há mais de 7 anos, sempre nas disciplinas de Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística.

Contem sempre comigo!

Saudações,

Prof. Arthur Lima