Fala, meu aluno! Tudo bem contigo? Segue abaixo recurso para a questões de estatística da prova da SEFIN/FORTALEZA.
131. A média amostral é uma estatística suficiente para a estimação do parâmetro desconhecido b
O examinador deu uma escorregada no gabarito. O recurso está bem fundamentado, inclusive utilizei como fonte um livro estudado no curso de estatística da Universidade de Brasília – UnB, livro da Sociedade Brasileira de Matemática – SBM, referência no estudo de estimadores suficientes.
Vamos ao recurso:
Prezada banca, dizemos que a estatística T = T (X1, . . . , Xn) é suficiente para θ, quando a distribuição condicional de X1, . . . , Xn dado T for independente de θ (Bolfarine, INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA,2001, Definição 2.2.1, p.20). Pelo critério da Fatoração de Neyman, sejam X1, . . . , Xn uma amostra aleatória da distribuição da variável aleatória X com função de densidade (ou de probabilidade) f(x|θ) e função de verossimilhança L(θ; x). Temos, então, que a estatística T = T (X1, . . . , Xn) é suficiente para θ, se e somente se, pudermos escrever L(θ; x) = h(x1, . . . , xn) × g(θ,T), onde h(x1, . . . , xn) é uma função que depende apenas de x1, . . . , xn (não depende de θ) e g(θ,T) depende de θ e de x1, . . . , xn somente através de T (Bolfarine, INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA,2001, Teorema 2.2.1, p.22). Com isso, dada uma estatística T = Σxi, tem-se que a função de verossimilhança de f é dada por: L(θ;x) = (2^n) × e^(-2Σxi + 2bn) × I(x⩾b), onde I(x⩾b) é a função indicadora e a notação m^c equivale a m elevado a c. Tal função pode ser reescrita da seguinte forma: L(θ;x) = [(2^n)] × [e^(-2Σxi) × e^(2bn) × I(x⩾b)], isto é, L(θ;x) pode ser escrita pelo produto das funções h(x1, . . . , xn) = 2^n (uma função que não depende do parâmetro) e g(θ,T) = e^(-2T) × e^(2bn) × I(x>=b) (uma função que depende da estatística T e do parâmetro b), portanto T é uma estatística suficiente para o parâmetro b. Por fim, como T = Σxi é equivalente à estatística T’ = Σxi/n = média amostral, tem-se que a média amostral também será uma estatística suficiente para o parâmetro b (Bolfarine, INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA,2001, Exemplo 2.3.2, p.25). A partir do exposto, sugere-se à douta banca a alteração do gabarito do item para certo.
Professor Pedro Felippe (Direção Concursos)
Matemática, raciocínio lógico, matemática financeira e estatística
Auditor Fiscal de Tributos de Roraima
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