Gabarito TCDF – Raciocínio Lógico, Estatística e Matemática Financeira – prova comentada

Caros alunos, vejam abaixo o meu Gabarito TCDF das disciplinas de Raciocínio Lógico, Estatística e Matemática Financeira, conforme a prova aplicada pela banca CEBRASPE no concurso TCDF para o cargo de Auditor de Controle Externo hoje, 21 de fevereiro de 2021. Espero que tenham ido muito bem!

Uma amostra aleatória simples, sem reposição, de tamanho 100, será retirada de uma população constituída por 1.000 indivíduos, com o objetivo de estimar a média  das idades desses 1.000 indivíduos. Essa amostra é representada por um conjunto de variáveis aleatórias X₁, …, X₁₀₀, e o estimador da média populacional  é dado pela seguinte expressão.

Tendo como referência essa situação hipotética, e considerando que o desvio padrão populacional da distribuição das idades seja igual a 2 anos, julgue os itens que se seguem.

CEBRASPE – TCDF – 2021) Se, no plano amostral em apreço, (x₁, …, x₁₀₀) representa uma possível realização de X₁, …, X₁₀₀ e se P(X₁ = x₁, …, X₁₀₀ = x₁₀₀) denota sua probabilidade de ocorrência, é correto afirmar que P(X₁ = x₁, …, X₁₀₀ = x₁₀₀) = 0,1.

RESOLUÇÃO:

Veja que estamos querendo calcular a probabilidade de retirar exatamente UMA amostra de interesse (x₁, …, x₁₀₀) a partir do total de amostras de 100 elementos que podem ser produzidas a partir dos 1.000 elementos da população. O número de amostras possíveis é dado pela combinação dos 1.000 elementos em grupos de 100, ou seja, C(1.000, 100), de modo que a probabilidade em questão seria:

P = 1 / C(1.000,100)

Não precisamos terminar o cálculo para perceber que o item está ERRADO. Ele só seria certo se o denominador da expressão acima fosse 10, ou seja, se fosse possível produzir apenas 10 amostras diferentes.

Gabarito Extraoficial: E

CEBRASPE – TCDF – 2021) No plano amostral em questão, as variáveis aleatórias X₁, …, X₁₀₀ são independentes.

RESOLUÇÃO:

Item ERRADO, pois existe uma relação de dependência derivada do fato de que a mostragem é sem reposição.

Gabarito Extraoficial: E

CEBRASPE – TCDF – 2021) A variância do estimador  é inferior a 0,04.

RESOLUÇÃO:

Pelo teorema central do limite, e considerando que a população é INFINITA, sabemos que o desvio padrão da distribuição amostral da média é dado por:

desvio padrão = 2 / raiz(100) = 2 / 10 = 0,2

A variância é o quadrado do desvio padrão, ou seja, 0,04.

Entretanto, nesta questão a população é FINITA (1.000 indivíduos), o que nos obriga a corrigir o desvio padrão, multiplicando-o pelo fator de correção para população finita , o que DIMINUI o desvio padrão e, consequentemente, DIMINUI a variância.

Assim, é CERTO dizr que a variância é INFERIOR a 0,04.

Gabarito Extraoficial: C

Considerando que P e Q sejam, respectivamente, as proposições “Ausência de evidência de um crime não é evidência da ausência do crime” e “Se não há evidência, não há crime”, julgue os itens a seguir.

CEBRASPE – TCDF – 2021) A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “Presença de evidência de um crime é evidência da presença do crime”.

RESOLUÇÃO:

A proposição P nos diz que “Ausência de evidência NÃO é evidência de ausência”. Podemos negar essa proposição simples dizendo que “Ausência de evidência É evidência de ausência”. O item está ERRADO.

Gabarito Extraoficial: E

CEBRASPE – TCDF – 2021) A negação da proposição Q pode ser corretamente expressa por “Não há evidência, mas há crime”.

RESOLUÇÃO:

A condicional Q pode ser negada pela regra do “MANÉ”, isto é, mantendo a primeira e negando a segunda: “Não há evidência E há crime”. Como o “mas” equivale ao “e” na lógica proposicional, podemos dizer que o item está CERTO.

Gabarito Extraoficial: C

CEBRASPE – TCDF – 2021) Embora tenham naturezas distintas quanto à composição, uma vez que P é uma proposição simples e Q é uma proposição composta, é correto afirmar que, no campo semântico, essas duas proposições expressam a mesma ideia.

RESOLUÇÃO:

A proposição P nos diz que, se não encontrarmos uma evidência, NÃO PODEMOS afirmar que o crime não aconteceu.

A proposição Q nos diz que, se não encontrarmos uma evidência, então PODEMOS afirmar que o crime não aconteceu.

Veja que essas proposições NÃO expressam a mesma ideia. Item ERRADO.

Gabarito Extraoficial: E

Certo produto foi anunciado por um preço P, valor que o vendedor aceita dividir em até três parcelas iguais, mensais e sucessivas, com ou sem entrada, conforme o desejo do cliente. No caso de pagamento à vista, o vendedor aceita entregar o produto por 0,9P.

Considerando que a situação hipotética apresentada, julgue os itens a seguir.

CEBRASPE – TCDF – 2021) Se, ao adquirir o produto, o cliente optar por pagar o valor P com um cheque para o mês seguinte, ele pagará uma taxa de juros efetiva de 10%am.

RESOLUÇÃO:

O valor presente do produto é 0,9P. Se formos pagar uma taxa de 10%am, após 1 mês o valor a ser pago seria:

VF = 0,9P x (1 + 10%) = 0,9P x 1,1 = 0,99P

Como o valor a ser pago é P, isto indica que a taxa NÃO é de 10%am.

Item ERRADO.

Gabarito Extraoficial: E

CEBRASPE – TCDF – 2021) Se, ao adquirir o produto, o cliente optar por dar uma entrada e pagar o restante do valor do produto no mês seguinte, ele pagará uma taxa de juros efetiva superior a 10% a.m.

RESOLUÇÃO:

Se o cliente pagar 0,5P à vista, ele terá um saldo devedor de 0,9P – 0,5P = 0,4P. Entretanto, após 1 mês terá que pagar mais 0,5P (para completar o valor P). Assim, será preciso pagar juros de 0,5P – 0,4P = 0,1P.

Para saber a taxa de juros, basta dividir esses juros pelo saldo devedor 0,4P:

0,1P / 0,4P = 1/4  0,25 = 25%

Item CERTO.

Gabarito Extraoficial: C

CEBRASPE – TCDF – 2021) Se, no momento da compra do produto, um cliente optar pelo parcelamento em três vezes com entrada e outro cliente optar pelo pagamento em duas parcelas sem entrada, ambos pagarão a mesma taxa de juros efetiva.

RESOLUÇÃO:

ERRADO. Ambos pagarão o mesmo valor total (P) mas, como esses desembolsos ocorrem de forma diferente (o primeiro terá que pagar P/3 de entrada, de modo que os juros incidirão sobre o saldo 0,9P – P/3, enquanto o segundo não pagará entrada, e os juros incidirão sobre o saldo 0,9P), as taxas efetivas serão diferentes.

Gabarito Extraoficial: E

CEBRASPE – TCDF – 2021) Se i indica a taxa de juros efetiva paga por um cliente que opta pelo parcelamento em três vezes sem entrada, fazendo-se x = 1 + i, tem-se que x deve satisfazer a equação 2,7x³ – x² – x – 1 = 0.

RESOLUÇÃO:

Temos 3 parcelas postecipadas de valor P/3 cada. O valor presente das três deve ser igual a P. Assim,

Valor presente = (P/3)/(1+i) + (P/3)/(1+i)² + (P/3)/(1+i)³

0,9P = (P/3)/(1+i) + (P/3)/(1+i)² + (P/3)/(1+i)³

Chamando 1 + i de x, temos:

0,9P = (P/3)/x + (P/3)/x² + (P/3)/x³

Dividindo todos os termos por P:

0,9 = (1/3)/x + (1/3)/x² + (1/3)/x³

Multiplicando todos os termos por 3, temos:

2,7 = 1/x + 1/x² + 1/x³

Multiplicando todos os termos por x³:

2,7 x³ = x² + x + 1

2,7 x³ – x² – x – 1 = 0

Item CERTO.

Gabarito Extraoficial: C